EDIFICIO MULTIPIANO | Salvatore Concetto Leotta

INTRODUZIONE AL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI NELL'ANALISI DELLE STRUTTURE EDILI - FEM (Finite Element Method)

§ INTRODUZIONE
La progettazione di una struttura consiste in un processo che, definita la destinazione dell'opera e le probabili condizioni di carico relative, nonchè le condizioni ambientali cui essa sarà soggetta durante e dopo la costruzione, tenta a produre una soluzione che, non soltanto soddisfi tali assunti progettuali, ma raggiunca anche altri obiettivi, quali quelli del minor costo complessivo.
Per riconoscere con buona approssimazione il comportamento della struttura richiede spesso il ricorso a modelli fisici o numerici.
Argomento di questa breve trattazione sono appunto i modelli numerici, ed in particolare, quelli basati su descretizzazione ad elementi finiti.
Il metodo degli elementi finiti ha origini abbastanza recenti. La formulazione riguarda problemi connessi alla approsimazione del continuo con sistemi di aste deformabili elasticamente; le prime trattazioni sistematiche risalgono al 1960, da allora lo sviluppo è stato estremamente rapido, divenendo una tecnica generale per la soluzione di sistemi di equazioni differenziali parziali con condizioni al contorno ed iniziali note.
In una struttura soggetta a carichi comunque configurati devono essere prese le tre relazioni della teoria dell'elasticità:
- equilibrio delle forze
- congruenza del sistema di spostamenti e dello stato di deformazione
- relazione tra tensioni e deformazioni attraverso le caratteristiche fisico-meccaniche dei materiali
Una soluzione consiste nello scrivere le equazioni differenziali corrispondenti ed integrarle, imponento le condizioni al contorno cinematiche e statiche. Questo modo di affrontare il problema porta alla soluzione esatta ma non è tanto agevole se non in alcuni casi semplici.
In alternativa si può utilizzare il metodo approssimato degli elementi finiti che consiste:

- Il continuo è suddiviso in un numero opportuno di elementi, per questo detti "finiti" , e l'approssimazione consiste nel fatto che soltanto le condizioni di equilibrio o quelle di congruenza sono soddisfatte in modo esatto, riuscendo le altre soddisfatte solo globalmente.

- Si possono scegliere, secondo il caso, dei campi semplici ma compatibili per gli spostamenti (se si vuole soddisfare la congruenza) o dei campi per le tensioni (se si vuole l'equilibrio soddisfatto in tutti i punti), la scelta porta rispettivamente all'analisi col metodo delle deformazioni (o spostamenti) e delle forze.

- Nel metodo degli elementi finiti coesistono sia il metodo delle forze che quello delle deformazioni.

- Nella pratica ricorre più frequente il metodo delle deformazioni o spostamenti perchè si basa su relazioni puramente cinematiche, al contrario il metodo delle forze su relazioni statiche. Le relazioni cinematiche sono facilmente ottenibili e con procedimenti indipendenti dal grado di iperstaticità; inoltre il metodo delle deformazioni è particolarmente adatto nello studio di problemi dinamici e non lineari per geometria, poichè il metodo consiste nella scrittura della matrice delle masse cinematiche equivalenti, in quella geometrica delle rigidezze o delle tensioni iniziali. In definitiva il metodo delle deformazioni ha caratteristiche di maggiore generalità per la soluzione di problemi riguardanti la statica e la dinamica dei sistemi elastici.

§ BREVI RICHIAMI DELLE RELAZIONI DELLA TEORIA CLASSICA DELL'ELASTICITA'
La valutazione del comportamento di una struttura è legata alla conoscenza dell'intero campo delle tensioni e degli spostamenti, la determinazione del campo delle tensioni e degli spostamenti discende dalla definizione delle equazioni che governano il problema, e che stabiliscono, generalmente in forma differenziale, condizioni di equilibrio e di congruenza:
- Equazioni di equilibrio
- Condizioni di congruenza
- Caratteristiche fisico-meccaniche

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO
In qualsiasi corpo elastico lo stato di tensione è rappresentato, in ogni punto, dalle tre equazioni differenziali indefinite dell’equilibrio elastico.
Scrivendo le tre equazioni in forma matriciale, la matrice contenente le tensioni si chiama matrice tensore degli sforzi e contiene le sei componenti speciali di tensione. Il corpo quindi risulta in equilibrio se si annullano la risultante delle forze di superficie (tensioni) e di volume agenti su di esso, assumendo naturalmente che le deformazioni siano piccole, nel senso che l'equilibrio possa determinarsi con sufficiente approsimazione sul corpo non deformato.

CONDIZIONI DI CONGRUENZA
Per un continuo deformabile si può descrivere il campo degli spostamenti mediante un vettore spostamento che viene assunto continuo (per esigenze di integrità del corpo) derivabile, con derivata prima continua almeno a tratti: questa ipotesi assicura la cosidetta congruenza cinematica del continuo.
Corrispondentemente agli spostamenti si producono anche delle deformazioni. Queste possono essere descritte da un vettore formato da sei componenti tre relativi agli allungamenti e tre agli scorimenti.
Se si suppone che gli allungamenti e gli scorimenti siano relativamente piccoli le deformazioni sono legate agli spostamenti da una relazione di tipo lineare viceversa se questa ipotesi non è soddisfatta si ha una relazione di tipo non-lineare.

CARATTERISTICHE FISICO-MECCANICHE
Per caratteristiche fisico meccaniche si intende il legame tra tensioni e deformazioni.
Nel caso più semplice di materiale linearmente elastico ed isotropo vale la Legge di Hooke, esprimibile nella seguente forma:
la tensione è direttamente proporzionale alla matrice di elasticità del materiale e agli allungamenti; nella matice di elasticità figurano il modulo di Young e il rapporto di Poisson che costituiscono le costanti di proporzionalità.